また数学問題botの問題を解いてみた

【解】
1)
$\begin{tabular}{rl}&f(r)-g(r)=0\\\Leftrightarrow&pe^{qr}-qe^{pr}=0\\\Leftrightarrow&\ln(pe^{qr})-\ln(qe^{pr})=\ln{1}\\\Leftrightarrow&\ln{p}+qr-\ln{q}-pr=0\\\Leftrightarrow&\ln{\frac{p}{q}}-(p-q)r=0\\\Leftrightarrow&\frac{p}{q}=e^{(p-q)r}\end{tabular}$ 　　(1)

2)
$\pi>e>0$ より，式(1)において $p=\pi$ ， $q=e$ とすると
$\begin{equation}\frac{\pi}{e}=e^{(\pi-e)r}\end{equation}$ 　　　　　　　　　　　(2)
であるから
$\left(\frac{\pi}{e}\right)^\pi=e^{\pi(\pi-e)r}$
$\left(\frac{\pi}{e}\right)^e=e^{e(\pi-e)r}$
よって
$\begin{tabular}{rl}&\frac{\pi^{\pi}}{e^{\pi}}\cdot\frac{\pi^{e}}{e^e}=e^{\pi(\pi-e)r+e(\pi-e)r}\\\Leftrightarrow&\frac{\pi^e}{e^{\pi}}=\frac{e^e}{\pi^{\pi}}e^{(\pi^2-e^2)r}=\frac{e^e\cdot e^{\pi^2 r}}{\pi^{\pi}\cdot e^{e^2 r}}\end{tabular}$
分母と分子の大小を比較すると
$\begin{align}&e^e\cdot e^{\pi^2 r}-\pi^{\pi}\cdot e^{e^2 r}=e^{e}\cdot{\left(\frac{\pi}{e}\right)}^{\frac{\pi^2}{\pi-e}}-\pi^\pi\cdot{\left(\frac{\pi}{e}\right)}^{\frac{e^2}{\pi-e}}\end{align}$ 　　　　　(∵(2))
$\begin{align}&=\frac{e^e\cdot\pi^{\frac{\pi^2}{\pi-e}}\cdot e^{\frac{e^2}{\pi-e}}-\pi^\pi\cdot\pi^{\frac{e^2}{\pi-e}}\cdot e^{\frac{\pi^2}{\pi-e}}}{e^{\frac{\pi^2+e^2}{\pi-e}}}\\&=\frac{{\pi^{\frac{\pi^2}{\pi-e}}\cdot e^{\frac{\pi e}{\pi-e}}}-\pi^{\frac{\pi^2+e^2-\pi e}{\pi-e}}\cdot e^{\frac{\pi^2}{\pi-e}}}{e^{\frac{\pi^2+e^2}{\pi-e}}}\end{align}$
上式について分母は正であり，分子の各項(>0)の自然対数を取ると
$\begin{align}&\frac{\pi e}{\pi-e}\cdot\frac{\pi^2}{\pi-e}\ln{\pi}-\frac{\p^2}{\pi-e}\cdot\frac{\pi^2+e^2-\pi e}{\pi-e}\ln{\pi}=-\pi^2\ln{\pi}<0\end{align}$
であるから，
$\frac{\pi^e}{e^{\pi}}<1 \Leftrightarrow {\pi^e}<{e^{\pi}$

式(2)をうまく使って不定数rを消したらあとはゴリ押し感．
/* もっとうまい方法あるのかもNE… */